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高中数学选择题的解法

编辑:温州新启航家教服务有限公司  时间:2012/03/28  字号:
摘要:高中数学选择题的解法
一、题型特点:
  1.高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.
  2.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是:要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来,能定性判断的,就不再使用复杂的定量计算;能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法;能使用间接法解的,就不必采用直接解;对于明显可以否定的选择应及早排除,以缩小选择的范围;对于具有多种解题思路的,宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选后认真检验,确保准确。
  3.解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法;但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚至有些题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.
  二、例题解析1.直接求解法 涉及数学定义、定理、法则、公式的应用的问题,常通过直接演算得出结果,与选择支进行比照,作出选择,称之直接求解法.例1、 圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有(    )A.1个               B.2个              C.3个              D.4个解 :本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置,这就需对圆心到直线的距离作定量分析.将圆的方程化为(x+1)2+(y+2)2=(2 )2,∴ r=2 .∵ 圆心(-1,-2)到直线x+y+1=0的距离d= = ,恰为半径的一半.故选C.例2、设F1、F2为双曲线 -y2=1的两个焦点,点P在双曲线上满足∠F1PF2=90o,则△F1PF2的面积是(    )A.1                 B. /2               C.2               D.
  解 ∵ |PF1|-|PF2|=±2a=±4,∴ |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,∵ ∠F1PF2=90o,∴ = |PF1|·|PF2|= (|PF1|2+|PF2|2-16).
  又∵ |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20.∴ =1,选A.例3、 椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于A、B两点,过AB中点M与原点的直线斜率为 ,则 的值为(     )A.               B.               C.1            D.
  分析:命题:“若斜率为k(k≠0)的直线与椭圆 + =1(或双曲线 - =1)相交于A、B的中点,则k·kOM=- (或k·kOM= ),”(证明留给读者)在处理有关圆锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应用.运用这一结论,不难得到:
  解 ∵ kAB·kOM=- =- =- ,∴ =-kAB·kOM=1· = ,故选A.2.直接判断法涉及有关数学概念的判断题,需依据对概念的全面、正确、深刻的理解而作出判断和选择.例1、甲:“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面”,乙:“两个二面角相等或互补.”则甲是乙的(    )A.充分而非必要条件                      B.必要而非充分条件C.充要条件                              D.既非充分又非要条件分析 显然“乙?甲”不成立,因而本题关键是判断“甲?乙”是否成立?由反例:正方体中,二面角A1-AB-C与B1-DD1-A满足条件甲(图31-1),但它们的度数分别为90o和45o,并不满足乙,故应选D.例2、下列四个函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(    )A.f(x)=x+lg                  B.f(x)=(x-1)C.f(x)=                  D.f(x)=解 由于选择支B给出的函数的定义域为[-1,1],该定义区间关于原点不对称,故选B.3、特殊化法(即特例判断法)例1.如右下图,定圆半径为a,圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0与直线 x–y+1=0的交点在( B )A. 第四象限        B. 第三象限    C. 第二象限        D. 第一象限提示:取满足题设的特殊值a=2,b=–3,c=1解方程 得  于是排除A、C、D,故应选B例2.函数f(x)=Msin( ) ( )在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=–M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos( )在[a,b]上( C )A.是增函数   B.是减函数   C.可以取得最大值M     D.可以取得最小值–M解:取特殊值。令 =0, ,则因 ,则 ,这时 ,       显然应选C例3.已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( C )A.130       B.170      C.210      D.260解:特殊化法。令m=1,则a1=S1=30,又a1+a2=S2=100 ∴a2=70, ∴等差数列的公差d=a2–a1=40,于是a3=a2+d=110,   故应选C例4.已知实数a,b均不为零, ,且 ,则 等于( B )A.      B.      C.–      D.–提示:特殊化法。取 ,则     故应选B4、排除法(筛选法)例1.设函数 ,若f(x0)>1,则x0的取值范围是( D )A.(–1,1)    B.(–1,+ ) C.(– ,–2) (0,+ )  D.(– ,–1) (1,+ )例2.已知 是第三象限角,|cos |=m,且 ,则 等于( D )A.      B.–     C.        D.–例3.已知二次函数f(x)=x2+2(p–2)x+p,若f(x)在区间[0,1]内至少存在一个实数c,使f( c)>0,则实数p的取值范围是( C )A.(1,4)       B.(1,+ )    C.(0,+ )   D.(0,1)点评:排除法,是从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,逐个淘汰与题设矛盾的选择支,从而筛选出正确答案。
  5、数形结合法(图象法)    根据题目特点,画出图象,得出结论。
  例1.对于任意x∈R,函数f(x)表示–x+3, ,x2–4x+3中的较大者,则f(x)的最小值是( A )A.2        B.3        C.8        D.–1例2.已知向量 ,向量 ,向量 ,则向量 与向量 的夹角的取值范围是(  D )A.[0, ]      B.[ , ]    C.[ , ]    D.[ , ]
  例3.已知方程|x–2n|=k (n∈N*)在区间[2n–1,2n+1]上有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( B )A.k>0   B.0<k≤  C. ≤k≤    D.以上都不是6、代入检验法(验证法)将选择支中给出的答案(尤其关注分界点),代入题干逐一检验,从而确定正确答案的方法为验证法。
  例1.已知a,b是任意实数,记|a+b|,|a–b|,|b–1|中的最大值为M,则(D )A.M≥0      B.0≤M≤      C.M≥1     D.M≥解:把M=0代入,排除A、B;再把M= 代入检验满足条件,排除C。
  例2.已知二次函数 ,若在区间[0,1]内至少存在一个实数c,使 ,则实数p的取值范围是( C )A.(1,4)   B.(1,+∞)   C.(0,+∞)   D.(0,1)解:取p=1代入检验。
  例3.(2004广东)变量x,y满足下列条件:
  则使得z=3x+2y的值的最小的(x,y)是( B )A.(4.5,3)    B.(3,6)   C.(9,2)   D.(6,4)解:一一代入检验。代入运算后比较大小。
  7、推理分析法通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支,肯定正确支的方法,称之为逻辑分析法,例如:若“(A)真 ? (B)真”,则(A)必假,否则将与“只有一个选择支正确”的前提相矛盾.例1 当x?[-4,0]时,a+ ≤ x+1恒成立,则a的一个可能值是(   )A.5               B.                C.-             D.-5解 ∵ ≥0, ∴ (A)真?(B)真?(C)真?(D)真, ∴ (D)真.
  例3、已知sinq = ,cosq = ( <q <p),则tg =(    ).
  A.             B.| |            C.            D.5解 因受条件sin2q +cos2q =1的制约,故m为一确定值,于是sinq 、cosq 的值应与m无关,进而推知tg 的值与m无关,∵ <q <p, ∴ ?( , ),∴ tg >1,故选(D).注:直接运用半角公式求tg ,将会错选(A).若直接计算,由( )2+( )2=1,可得m=0或m=8,∵ <q <p, ∴ sinq >0,cosq <0,故应舍去m=0,取m=8,得sinq = ,cosq = ,再由半角公式求出tg= =5,也不如上述解法简捷.
  三、练习1已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在 内α的取值范围为( B )A       BC     D2一个直角三角形的三内角成等比数列,则其最小内角为(   B )A  B  C  D3若 ,则 (   B   )A     B     C      D4函数 的反函数为(   B )A         BC       D5已知函数 在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围为( B )A (0,1)   B (1,2)   C (0,2)   D6.(07天津)设 均为正数,且 , , .则( A )A.              B.              C.              D.7设f(x)是定义在实数集R上的任意一个增函数,且F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)应为(   A   )A 增函数且是奇函数           B增函数且是偶函数C 减函数且是奇函数           D减函数且是偶函数解: 取f(x)=x,知F(x)=x-(-x)=2x,故选A。
  8定义在 上的奇函数 为增函数,偶函数 在区间 的图象与 的图象重合,设 ,给出下列不等式:
  1)f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)      2) f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)3) f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)      4) f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是(    C   )A 1)与2) B 2)与3) C 1)与3) D 2)与4)9若 ,则 的值为(   D   )A     B     C     D10将直线3x-y+2=0绕原点按逆时针方向旋转900,得到的直线方程为(   A )A x+3y+2=0    B x+3y-2=0      C x-3y+2=0    D x-3y-2=011已知集合A= ,B= ,C 的则A、B、C的关系是( C ).
  A.          B.
  C.          D.
  12集合 { ,1}, { ,1,2},其中 {1,2,…,9}且 ,把满足上述条件的一对有序整数( )作为一个点,这样的点的个数是(B)(A)9              (B)14                 (C)15                 (D)2113已知函数 , , , R,且 , , ,则的值(B)(A)一定大于零       (B)一定小于零       (C)等于零     (D)正负都有可能14已知1是 与 的等比中项,又是 与 的等差中项,则 的值是 (D)(A)1或         (B)1或              (C)1或          (D)1或15平面直角坐标系中, 为坐标原点,已知两点 (2,-1), (-1,3),若点 满足 其中0≤ ≤1,且 ,则点 的轨迹方程为(C)(A)                            (B)(C) (-1≤ ≤2)             (D) (-1≤ ≤2)16.已知定义域为 的函数 在 上为减函数,且函数 为偶函数,则( D )A.         B.         C.         D.17下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的一个图是(D)(A)           (B)                     (C)               (D)18如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是 ( D )19为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 密文(加密),接收方由密文 明文(解密),已知加密规则为:明文 对应密文 例如,明文 对应密文 当接收方收到密文 时,则解密得到的明文为(B)(A)     (B)     (C)     (D)20关于 的方程 ,给出下列四个命题:
  ①存在实数 ,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数 ,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数 ,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数 ,使得方程恰有8个不同的实根.
  其中假命题的个数是   (A)A. 0                B. 1                    C. 2                  D. 321设 是二次函数,若 的值域是 ,则 的值域是( C )A.            B.C.                              D.22如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值,则( D )A. 和 都是锐角三角形B. 和 都是钝角三角形C. 是钝角三角形, 是锐角三角形D. 是锐角三角形, 是钝角三角形23已知非零向量 与 满足 且 则 为(A)(A)等边三角形         (B)直角三角形(C)等腰非等边三角形      (D)三边均不相等的三角形24已知双曲线 的左、右焦点分别为 , , 是准线上一点,且 , ,则双曲线的离心率是( B )A.                B.                C.                   D.OM( , )25如图,平面中两条直线 和 相交于点O,对于平面上任意一点M,若 、 分别是M到直线 和 的距离,则称有序非负实数对( , )是点M的“距离坐标”.已知常数 ≥0, ≥0,给出下列命题:
  ①若 = =0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个;②若 =0,且 + ≠0,则“距离坐标”为( , )的点有且仅有2个;③若 ≠0,则“距离坐标”为( , )的点有且仅有4个.上述命题中,正确命题的个数是( D )(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.26(06江西)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1) ?0,则必有( C )f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1)C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)>2f(1)
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